Euclides ab omni naevo vindicatus

L’Euclides vindicatus del matematico gesuita Gerolamo Saccheri (1667-1733) apparve a Milano nel 1733. In esso, Saccheri si proponeva di discutere e risolvere alcuni problemi classici che affliggevano l’esegesi degli Elementi di Euclide, e in particolare quei due "nèi", come li aveva chiamati l’umanista Henry Savile nel lontano 1621, che sono la teoria euclidea delle parallele e quella delle proporzioni. I due libri che compongono l’Euclides vindicatus, dunque, si impegnano (rispettivamente) a dimostrare il Quinto Postulato di Euclide sulle rette parallele, e a spiegare e giustificare le definizioni euclidee di proporzionalità e composizione di rapporti.

La dimostrazione del Quinto Postulato euclideo rappresenta senz’altro la parte più rilevante e famosa dell’opera di Saccheri. Questo postulato era stato oggetto di tentativi di dimostrazione fin dall’antichità classica, e alla questione si erano applicati innumerevoli matematici greci, poi arabi e persiani nel medioevo islamico, e infine moltissimi geometri rinascimentali e della prima età moderna. I predecessori immediati di Saccheri, ai quali egli fa sempre riferimento, sono il grande commentario agli Elementi del gesuita Cristoforo Clavio (1589); i lavori della scuola geometrica italiana, e soprattutto l’Euclides restitutus di Giovanni Alfonso Borelli (1658), e l’Euclide rinnovato di Vitale Giordano (1680); e l’importante tentativo di John Wallis (1663). Saccheri intraprende il proprio tentativo di dimostrazione attraverso un lungo ragionamento per assurdo, e conduce per i trentanove teoremi del Libro Primo una complessa discussione sulle conseguenze geometriche della negazione del Quinto Postulato. In questa maniera egli edifica, per la prima volta nella storia, un’ampia costruzione di geometria iperbolica. Questa lunga catena dimostrativa si conclude infine con un errore matematico piuttosto banale, legato ad alcuni mal compresi procedimenti infinitesimali, grazie al quale Saccheri poté ritenere d’aver dimostrato l’assioma delle parallele. Negli anni successivi alla pubblicazione dell’Euclides vindicatus (e alla morte del suo autore) ci si avvide che la dimostrazione per assurdo di Saccheri era senz’altro sbagliata; ma anche che egli aveva quasi inavvertitamente scoperto un vasto continente ancora largamente inesplorato, quello della geometria iperbolica, e molti geometri più moderni intrapresero lo studio di una geometria non euclidea, basata sulla negazione del Quinto Postulato, proprio a partire da quei tanti teoremi così brillantemente dimostrati da Saccheri. L’Euclides vindicatus rappresenta così l’involontario atto fondativo delle geometrie non euclidee, e i suoi risultati il punto di partenza delle successive costruzioni di Lambert, Lobačevskij, Bolyai e Gauß. L’opera di Saccheri risulta pertanto oggi uno dei più importanti sviluppi nella storia della geometria moderna.

Il Libro Secondo dell’Euclides vindicatus, dedicato discussione della teoria euclidea delle proporzioni, è certamente meno brillante e ricco di novità del precedente, ma resta tuttavia di certo interesse per lo storico della matematica giacché rappresenta quasi la summa di una vasta tradizione di studi fondazionali secenteschi sull’argomento (iniziati con Guidobaldo dal Monte, e soprattutto poi con Galileo), il quale rivestiva un’importanza fondamentale come strumento matematico privilegiato per la costituzione della nuova scienza della natura.