Fondamenti di geometria a più dimensioni

Giuseppe Veronese, Fondamenti di Geometria a più dimensioni e a più specie di unità rettilinee, esposti in forma elementare. Lezioni per la Scuola di Magistero di Matematica, Tipografia del Seminario, Padova, 1891, pp. XLVIII, 630.

Leggendo, tanto per citare, Cauchy, Cayley, Plücker e H. Grassmann troviamo concettualizzazioni pluridimensionali. In Italia Pietro Cassani (1832 – 1905) che fu insegnante di matematica all'Istituto Tecnico di Venezia, in cui studiò Giuseppe Veronese, realizzò alcuni interessanti lavori sui fondamenti della geometria pluridimensionale che in qualche modo dovettero influenzare l'allievo. D'altronde, se si vogliono indagare i fondamenti e gli sviluppi ultra euclidei (in senso lato) della geometria, concettualmente l'approccio sintetico-elementare si è mostrato storicamente (e non solo) cruciale. Come è ben noto la geometria sintetica per presentare i suoi concetti fondamentali e per svilupparsi si riferisce a enti puramente geometrici non giustificabili o definibili in altro modo (ad es. il punto non dovrà essere considerato come una n-pla di numeri reali). Oltre alla Prefazione, nella quale si trovano riassunte le idee svolte nel testo e i risultati ottenuti, il volume contiene:

- un'introduzione in cui vengono trattati i principi fondamentali delle forme matematiche astratte;

- la prima parte, suddivisa in tre libri, nei quali è svolta la geometria della retta, del piano e dello spazio a tre dimensioni e nello spazio che l'autore chiama generale, ed anche indipendentemente dalla definizione di tale spazio;

- la seconda parte, suddivisa in due libri che riguardano lo spazio a quattro e ad n dimensioni;

- uno studio storico critico dei principali lavori matematici pubblicati, specialmente nel secolo XIX sui fondamenti della geometria.

L'autore non presuppone per la lettura del testo la conoscenza di settori della matematica, quanto piuttosto una certa predisposizione a pensare matematicamente. In realtà l'opera non è di facile lettura, per la complessa articolazione teorica ed essendo peraltro poco utilizzabile (in particolare per la dimensione superiore alla terza) il ricorso all’intuizione, nonostante Veronese nel 1884 avesse scritto (in “La superficie omaloide normale a due dimensioni e del quarto ordine dello spazio a cinque dimensioni e le sue projezioni nel piano e nello spazio ordinario”, in Memorie R. Accad. Lincei, 19, 1883-84):

“Il metodo [da me seguito] è principalmente sintetico e intuitivo, come nelle altre mie memorie sulla geometria a n dimensioni. Dico intuitivo perché per me il punto, la retta, il piano e lo spazio a tre dimensioni in quello a n dimensioni sono elementi di natura nota, cioè hanno sempre lo stesso significato, quello che posseggono nello spazio ordinario; e quindi i corpi a più di tre dimensioni generati con questi elementi sono essi stessi parzialmente intuitivi, perocché vengono rappresentati nella nostra mente non già mediante equazioni, ma mediante figure geometriche.”

Le idee fondamentali del libro dipendono anche da un'analisi epistemologica delle nozioni di assioma e di postulato. Interessante lo sviluppo della geometria indipendentemente dal V postulato di Archimede (geometria non -archimedea) nonché la costruzione di spazi di dimensione superiore alla terza. Si deve altresì constatare la forte influenza dell’opera di Riemann.

(Paolo Freguglia)