Leonardo Pisano (Fibonacci) (1170 ca - 1250 ca)

Leonardo Pisano, noto con il nome di Fibonacci, nacque a Pisa intorno al 1170 dalla famiglia Bonacci, figlio di Guilielmo (Fibonacci sta infatti per fi[lius] Bonacci), rappresentante dei mercanti della Repubblica di Pisa presso Bugia, che all’epoca era un importante porto sul mediterraneo nella regione della Cabilia, nell’attuale nord-est dell'Algeria. La formazione di Fibonacci prese avvio a Bugia, sotto la guida di un maestro mussulmano, e proseguì in Egitto, Siria, Grecia, luoghi che egli visitò col padre lungo le rotte commerciali, prima di fare ritorno stabilmente a Pisa a partire dall'anno 1200 circa. Proprio a Pisa si dedicò alla stesura di manoscritti di argomento matematico: di questi, sono giunti fino ai tempi nostri il Liber Abaci (1202), la Practica Geometriae (1220), Flos (1225) e il Liber Quadratorum (1225). Importanti furono anche i suo contatti con la corte dell'imperatore del Sacro Romano Impero Federico II. In quell'epoca Pisa era coinvolta in un gran numero di conflitti, principalmente con Genova via mare, e con Lucca e Firenze via terra, e godeva del sostegno imperiale. In particolare, Fibonacci ebbe scambi epistolari con Michele Scoto, Domenico Ispano, Teodoro Fisico e Giovanni da Palermo, e incontrò la corte dell'imperatore quando questa si riunì a Pisa nel 1225. Fibonacci ebbe anche un significativo ruolo nella diffusione della matematica a Pisa, città in cui morì verso il 1250. L'opera più conosciuta di Fibonacci è il Liber Abaci. Letteralmente, il titolo significa "libro dell'abaco". Il nome è però fuorviante: nel testo non si parla dell'abaco, strumento usato fino a quel tempo per far di conto usando la notazione romana; al contrario, esso si apre con l'introduzione delle "9 figure indiane" per denotare le cifre, assieme al numero 0, chiamato inizialmente “zefiro” (dall’arabo “sifr”, da cui derivano i termini zero e cifra). Il libro è dedicato principalmente alla descrizione delle tecniche di utilizzo dei numerali arabi, e contiene un gran numero di problemi di natura commerciale, il che non stupisce considerando l'estrazione sociale di Fibonacci. Nella risoluzione di questi viene fatto un uso ampio delle frazioni, scritte utilizzando la sbarra orizzontale. Va osservato come, rispetto alle frazioni comuni utilizzate al giorno d'oggi, egli preferisse quelle sessagesimali e quelle a numeratore unitario, presentando anche alcune tavole di conversione da frazioni comuni a quest'ultime. A fianco di questi problemi commerciali ve ne sono altri, ben più famosi, che ebbero una grandissima influenza anche sugli gli autori posteriori. Tra questi, quello che più ha ispirato i matematici dei secoli successivi è il seguente: “Quante coppie di conigli verranno prodotte in un anno, a partire da un'unica coppia, se ogni mese ciascuna coppia dà alla luce una nuova coppia che diventa produttiva a partire dal secondo mese?” La soluzione a questo problema è la celeberrima "successione di Fibonacci" (tutt'ora esiste una rivista, il Fibonacci Quarterly, interamente dedicata ad argomenti ad essa correlati), che si può induttivamente definire ponendo u_(0)=1, u_(1)=1, u_(n+2)=u_(n+1)+u_(n) per qualunque n maggiore o uguale a zero. Questa successione ha una notevole quantità di proprietà eleganti e interessanti. Ad esempio due termini successivi sono primi tra loro, e il limite del rapporto di u_(n) su u_(n+1) è la sezione aurea che figura anche in una grandissima quantità di problemi di sviluppo organico e di biologia. La secona opera a noi pervenuta è la Practica Geometriae (1220), dedicato a Domenico Ispano. Il lavoro sembra basato su una versione araba di un trattato euclideo, Sulle Divisioni, e anche sugli Elementi di Euclide. In questo libro c'è una collezione di problemi di geometria, nella cui risoluzione Fibonacci fa uso anche di tecniche algebriche. A fianco di questi risultati teorici, vi sono inoltre alcuni suggerimenti pratici, ad esempio un metodo per calcolare le altezze degli oggetti a partire da triangoli simili. Nel 1225 Fibonacci scrive sia il Flos che il Liber Quadratorum. Nel primo vengono studiati vari problemi che ricordano le tradizioni di Diofanto, Euclide, araba e cinese, e vengono anche risolti tre problemi posti a Fibonacci come sfide da un membro della corte di Federico II. Di questi, il più interessante è la ricerca di soluzioni della equazione x^(3)+2x^(2)+10x=20. Anzichè porsi il problema in termini geometrici (con questo metodo già un matematico arabo, Umar Khayyam, aveva trovato le soluzioni), Fibonacci dimostrò, con tecniche vicine a quelle moderne, che questa equazione non ammette soluzioni né tra i razionali né tra i numeri della forma a+√b, con a e b razionali, il che rendeva impossibile fornire una soluzione sfruttando unicamente i metodi algebrici allora disponibili. Fibonacci presentò però una approssimazione della radice positiva esatta fino alla nona cifra decimale, e questa è la più accurata approssimazione di una radice irrazionale di un'equazione algebrica che sia mai stata raggiunta in Europa fino al 1500. Probabilmente tale risultato fu raggiunto utilizzando una delle tecniche di approssimazione che egli aveva appreso durante i suoi viaggi. Il Liber Quadratorum è un testo di teoria dei numeri, in cui vengono trattati molti problemi originati dalle sfide matematiche presso la corte di Federico II. Tra le tante questioni affrontate, viene esposto un metodo molto elegante per generare una quantità infinita di terne pitagoriche, basato sulla osservazione che ogni numero quadrato si può esprimere come somma di numeri dispari usando la formula induttiva n^(2)+(2n+1)=(n+1)^(2). La tecnica, come espresso da Fibonacci, è questa: si prende un numero dispari n, e si fa poi la somma di tutti i numeri dispari strettamente minori di n. Questa è un quadrato m^(2), e n^(2)+m^(2) risulta essere a sua volta un numero quadrato. L'influenza di Fibonacci fu sicuramente minore di quanto la matematica che fu in grado di esprimere avrebbe potuto lasciar supporre. Furono sicuramente importanti il suo ruolo nella introduzione in Europa dei numerali Indo-Arabi e le sue tecniche di risoluzione per i problemi matematici di problemi quotidiani, ma il suo incredibile lavoro nel campo della teoria dei numeri fu quasi completamente ignorato per i trecento anni successivi.

(Seminario di Logica Permanente)

Riferimenti bibliografici:

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